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数学と社会の架け橋<数学月間>

7月22日--8月22日は数学月間(since2005)です.日本数学協会は,2005年に,7月22日ー8月22日を数学月間と定めました.この期間は,数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因んでいます.この期間に,数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう応援しています. The period of July 22nd to August 22nd was set as "Maths Awareness Month of Japan" by the Mathematical Association of Japan (MAJ) in 2005. These dates are derived from two mathematical constants: Archimedes' constant pi(22/7=3.14) and Napier's constant / Euler's number e(22/8=2.7). Maths Awareness Month of Japan is run on a voluntary basis by the Maths Awareness Council. During this period we support various events for raising the awareness of maths throughout the country.

数学と社会の架け橋=数学月間(7/22-8/22)社会が数学を知り,数学が社会を知ろう!
NPO法人数学月間の会(SGK)  http://sgk2005.saloon.jp/  もご訪問ください.

2つの箱をユニット折り紙で作りました

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どちらの箱も正6角形です.色の見分けのできない眼鏡をかけて見れば,どちらもおなじで6回回転対称(点群6)です.対称操作を書き下すと,
6={6, 6^2,6^3,6^4, 6^6, 6^6=1} ,鏡映対称はありません.
今度は色の違いにも気を配りましょう.
左の箱は,6回回転軸の60°回転ごとに,色が,赤⇔緑 と入れ替わります.
このような2色(一般には黒/白という)の交代と結び付いた6回軸を6’と書きます.
右の箱は,6回回転軸の60°回転ごと(左まわり)に,色は,赤→黄→緑 の順に置換します.このような3色の置換と結び付いた6回回転軸を6^(3)と書きます[(3)は上付文字です].左のような,2色(黒/白)交代と空間対称操作の結合は,シュブニコフ,右のような色置換と空間対称操作の結合は,ベーロフによって研究されました.空間対称操作(空間群)はフェドロフにより研究されましたのでフェドロフ群と呼ばれるように,これらの拡張された空間群は,シュブニコフ群,ベーロフ群と呼ばれます.(注)フェドロフ群,シュブニコフ群,ベーロフ群は,それぞれ周期的空間を記述する空間群ですが,ここでは,簡単のために有限図形を記述する点群を例にしています.
■シュブニコフ群の仕組み
左の点群を結合された対称操作を用いて6’={6',6'^2=3,6'^3,6'^4=3^2,6'^5,6'^6=1}と書きます.
図形を見てわかるように,色の変化を起こさない対称操作のみの集合,点群3={3, 3^2,3^3=1}が,部分群[実は正規部分群]として含まれています.したがって,対称操作の集合は次のように2つの集合の和(剰余類展開)になります:
 6'=6’・3+1・3={6'(mod3), 1}・3
これは,点群6'が,色を変えない正規部分群 3を法として,より単純な商群6’/3={1,6'(mod3)}に写像[準同型写像]されるということです.
(注)群3を法としてという意味は,点群3に含まれる操作で動くものは,すべて同じものと思えということです.
■ベーロフ群の仕組み
右の点群は6^(3),色を変えない正規部分群は 2={(6^(3))^3=2, 1}ですから,6^(3)/2={6^(3)(mod2),(6^(3)(mod2))^2, 1}
つまり,mod2というのは,2回軸で移るものは同じと思えということで,考察は図形の半分に帰着できます.例えば図形の右側だけ見ると,赤→黄→緑 の置換が起きることがわかるでしょう.

■正8角形の箱ー(非結晶点群)

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左の箱は前回登場した正8角形のものです.点群は 8'
この中に含まれる色を変えない部分群は,正規部分群で 4
商群は,8'/4={8'mod(4), 1} です.
(注)ただし,正8角形のタイルで平面のタイル張りはできませんから,
有限図形の点群としての8はありますが,8回軸が周期的に並ぶと矛盾が起きます.つまり,結晶点群として8は存在できません.
例えば,正8角形の分子(オクタテトラエン)が,周期的に配列して結晶を作ったとしても,並進周期はせいぜい4回対称か2回対称でしょう.

(注)右の正6角形の箱はすでに取り上げたものと同じです.

■空間の対称操作と色の置換が結合された対称操作が作る黒白群(シュブニコフ群)や多色群(ベーロフ群)の概念を紹介しました.ここに現れるのは,空間の次元と異なる性質空間の次元が加わり高次元の対称操作です.色というのは性質の代表として使われます.実際には性質としていろいろなものがあります.例えば,結晶を構成する原子の位置は空間の対称操作ですが,原子に付随するスピンは空間と別の次元です.磁性体にはシュブニコフ群やベーロフ群が応用できます.

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クバンチク12月号(2016)p.2~6に,S.Dorichenkoによる表題のエッセイがあります.冗長ですので,図は用いていますが,独自の説明にしました.

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梯子が壁に沿って立っている状態(図1).Kは梯子の中点でここにクバンチク君がいます.梯子の上端が壁に沿って下にスライドし,下端が床に沿って右に移動します(図2,3).クバンチク君の描く軌跡は?

壁と床の交点をOとすると,クバンチク君の位置KはOからの距離が常に等しい(梯子の長さの半分)ことに注意しましょう.

従って,クバンチク君の軌跡は中心Oとする半径OKの円(青い線,全円の1/4).

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Kを中心として直径ABの円(赤い円)を考えます.Oは円周上にあります.
Kが青い円の上を運動するとき,赤い円の直径ABの端点A及びBは直線運動をします.


■赤い円と緑の円があります.緑の円の直径は赤い円の2倍です.赤い円は緑の円の内部から内接し,接点は滑らずに緑の円に沿って回転します.
始めの図は,赤い円の直径ABのA点が緑の円のN点に,赤い円のB点が緑の円のO点に一致している状態です.緑の円の内部で赤い円が滑らずに回転し,C点が接している状態が次の図です.
A点は縦軸上を移動し,B点は横軸上を移動することがわかるでしょう.この調子で,赤い円の中心Kが右回りに回転を続けても,A点,B点はそれぞれ直線運動を続けます.これは,回転運動を直線運動に変える機構に利用できます.

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コペルニクスの定理
円が,直径2倍の円の内側に沿って滑らずに回転する場合,回転する円周の各点は常に何らかの原点Oを通る直線運動をします.

■ロボット掃除機の動き
赤い円をロボット掃除機とします.ロボット掃除機の中心Kが青い円に沿って動く.掃除機自体が,青い円に沿った回転角と同じだけ逆向きに回転するので,初めに直線OK上にあったC点は回転しても直線OK上にあります.

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■楕円軌跡
もしクバンチク君がいる場所が,梯子の中心ではなく,例えば,1/3の位置にいるなら,クバンチク君の描く軌跡はどうでしょうか?

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■ここで,興味ある問題を補足します.
円が2倍サイズの円の内部に接しながら,滑らないように回転するとします.内部の円の中心が一周した(公転)とき,内部の円は何回転(自転)したでしょうか?

答えは1回転です.お試しください.外側の円の円周は内部の円の円周の2倍ですので,2回転と言いたいところですが,不思議ですね.何故だか説明してください.

同じ大きさの円を接して回したとき,外側の円は何回転するかという良く知られた問題があります.10円玉を2つ使って実験してください.この場合は,円周の長さは同じですから,1回転と言いたいところですが,このときの答えは2回転です.

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お願い早く洗って.キャビネットの扉を反さなければならないのだ.

(問題)学校に1000個のワードローブ(キャビネット)があり,1,2,・・・,1000の番号が付いています.夜は,1000個すべてのキャビネットの扉が閉じられます.この学校には1000人の幽霊が住んでいて,真夜中に,最初の幽霊が,キャビネットのすべての扉を開けます.次に2番目の幽霊が,2で割り切れる数の扉の状態を変化させます(この場合は閉めることになる).次に,3番目の幽霊が,3で割り切れる扉の状態を変化させます.同様に続けて行って,1000番目の幽霊は,1000で割れる番号の扉(この場合は1000番のみ)の状態を変化させます.その後,幽霊たちは消えます.いくつのキャビネットの扉が開いていますか. (2016年2月のクバンチックの問題より)

■ヒント

幽霊

これは難問です.だいぶ考え込みましたが,面白い問題です.チャレンジしてみてください.ヒントに表を作ってみました.〇は扉が開いている状態.
整数nに約数aがあれば,適当な整数bがあって,n=a・bと書けるはずです.したがって,nの約数はペアで存在し,このペアの分は偶数個です.例外は,a=bとなるときで約数a=bに関しては,奇数個(1個)存在します.nの約数の最後の1つは(n番目の幽霊が操作する)n自身です.扉nの約数はいつくあるか(奇数個か偶数個か)考えてください.

By Julia Gog, Rachel Thomas, Marianne Freiberger 

この翻訳は,プラスマガジンの記事の概要です.

私たちは皆、病気の実効再生産数Rについて考えることに慣れてきました。これは、平均して、1人の感染者によって感染した人の数です。以前の記事で見たように、Rは病気で何が起こっているかを理解するのに役立ちます。R> 1は流行が拡大することを意味し、R = 1は横ばいであることを意味し、R <1は流行が減少することを意味します。

(私たちがニュースで耳にする実効再生産数Rは、流行の過程で毎日変化します。基本再生数R0とは違います。)

ただし、Rが教えてくれないことの1つは、物事がどれほど速く変化しているかです。これは、Rがレートではないため、関連する時間スケールがないためです。たとえば、ある疾患でR = 2の場合、流行が拡大することはわかっています(R> 1であるため)。 HIVやTBのような病気では、ある人が次の人に感染するまでに数か月または数年かかる可能性があります。R= 2でも、時間の経過とともに成長が遅いことを意味します。ただし、インフルエンザまたははしかの場合、感染がはるかに速く、日数のスケールでは、R = 2は非常に急速な成長を意味します。

感染流行の成長率はどれくらいですか?
病気の成長率は、感染症の数が日々急速に変化する速さを捉える自然な方法です。疾患の症例の増加は、指数曲線を使用してモデル化されます。

Nt=constant×eλt
ここで、Nはケース数であり、日数で測定した時間tに依存します。λは、1日あたりの疾患の成長率と呼ばれるものです。 (eという数値は、約2.719に等しい数学定数であり、指数関数的成長と密接に関連しています。)
上記の曲線の例では、HIVの成長率は1日あたりλ = 0.002で、はしかの場合は1日あたりλ = 0.06です。この例の両方の疾患が同じ繁殖率を持っているにもかかわらず、これは翌月に大きく異なる結果をもたらします。

COVID-19のパンデミックの間、新しい症例数と新しい死者数が毎日報告されています。これらは3月と4月上旬に英国で増加し、ここ数週間で減少しています。 増加率が正の場合、毎日新しいケースの数は増加します。増加率が0の場合、新しいケースの数は一定のままです。 流行を抑制し続けるために必要なことは、成長率がマイナスになることであり、それゆえ新しいケースの数が減少することです。 新しいケースの数が昨日から3%減少した場合、その増加率は、およそ、1日あたりλ = -0.03です。 (これは完全に等価ではありませんが、λの一般的な値の適切な近似値です。成長率は実際には複利のように機能します。ここで確認できます。)

Rと成長率のどちらが優れていますか?
実効再生産数Rと成長率λはどちらも、疾患の成長を理解するための有効な尺度です。 それぞれに適した用途を概説します。
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◆再生産数:R 
Rは、流行を止めるために必要な介入の強さを理解するのに自然であり、制御手段を計画するためにより適切です。例えば:

R = 1.5は、感染率を3分の1に減らす必要があることを意味します。
R = 2は、影響を受けやすい人々の半分にワクチン接種する必要があることを意味します(この計算については、注*)。
したがって、Rは、流行を止めるために必要な将来の介入の強さを予測する直感的な方法を提供します。

R> 1指数関数的成長
R = 1フラット
R <1指数関数的減衰

R感染発生の数で,レートではありません。時間スケールは含まれていません。

Rは実際には簡単に測定できませんが、感染の時間スケールがわかっている場合は、モデルを使用して適合させることができます。原理的には、だれが誰から感染したかに関する正確な疫学的データによって推定することができますが、これは通常の設定では通常は実行できません。

◆1日あたりの成長率:λ
成長率は、ケースが時間とともにどのように変化するかを考えるのに自然です。例えば

λ = 0.01 /日は、ケースが1日あたり約1%増加することを意味します。
λ = -0.02 /日は、ケースが1日あたり約2%減少することを意味します。
成長率は、現在何が起こっているかをよく説明しています。今日特定の数がある場合は、明日、翌日などに何人になるか予測できます。

λ> 0指数関数的増加
λ = 0フラット
λ <0指数関数的減衰

 成長率λは、通常COVID-19の日数で与えられる率です。

成長率λは、ケースまたは死亡の時系列データから比較的簡単に推定できます(ただし、少数については以下を参照してください)。単純なアプローチは、ログに記録されたケースの勾配を見つけることです。時間とともに変化する成長率、または不均一な人口を考慮に入れることができるより高度なアプローチには、再び流行モデルのフィッティングが含まれます。
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病気の発生率が非常に低い場合や、調査しているコミュニティの人口が非常に少ない場合など、症例数が少ない場合、再生産数と成長率の両方を推定することは特に困難です。その場合、日々の変動が病気の根本的なパターンを簡単に覆い尽くす可能性があるため、成長率についての不確実性が大きくなります(したがって、信頼区間が広くなることが期待されます)。

どのようにしてRから成長率に、またはその逆に到達しますか?
Rと成長率の正確な関係は単純ではありません。次の感染までの各タイミングを考慮する必要があります。大雑把な近似は

R=eλT
ここで、Tは平均生成時間です。感染から次の感染までの時間です。
さらに高度な数学も知りたい
これはすべて、制御手段と病気にかかりやすい人の数があまり速く変化していないことを前提としています。

1人の感染者に続いて、感染後の時間をτ(日数)で示します。彼らは平均して他のRに感染し続けます。これらのそれぞれについて、感染のタイミングは確率密度関数fτで分散されます。次に、(数学の学部生のための演習!)Rλは次のように関連付けられます。

R1=τ=0eλτfτdτ
これはラプラス変換または生成時間分布のモーメント生成関数と非常に密接に関連しています。

生成時間の特定の分布(ガンマ分布など)の場合、これは簡略化できることがあります。生成時間をTのように正確に一定にすると、R=eλTが回復しますが、これは実際の多くの感染症のかなり大まかな近似です。

fτは、潜伏期間などの生物学的事柄や、症状があるときに他の人とまだ混合しているか、自己隔離しているかなどの社会的要因に依存します。

詳細については、WallingaとLipsitchによるこのペーパーを参照してください。
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この記事について
レイチェルトーマスとマリアンヌフライバーガーはPlusの編集者であり、ケンブリッジ大学の数理生物学の教授であるJulia Gogと共同でこの記事を作成しました。 Gogは、その結果を緊急事態用科学諮問グループ(SAGE)にフィードするモデリンググループSPI-Mのメンバーです。彼女はまた、王立協会が率いる全国コンソーシアムの運営委員会のメンバーであり、COVID-19パンデミックに対処しています。

伝染病の実効再生産数Rは,母集団の異なる部分で異なる値を持つ可能性がありました.Rは感染した人が他に感染させる平均人数で,社会のさまざまな部分集団(たとえば,地理的要因や病院や介護施設など)ごとにR値が異なる場合は,これらの部分集団がどのように結びついているかを考慮する必要があります.

集団を2つの部分集団に分割してみましょう.一つは,介護施設や病院の患者またはスタッフであり,「病院」というラベルをつけます.残りは,「コミュニティ」と呼ぶ部分集団です.コミュニティのRは0.8,病院のRは0.7としましょう.

これら2つのグループを個別独立なものとして検討することはできません.コミュニティの人々が病気になったときは病院に移動し,病院や介護施設のスタッフが無意識のうちにウイルスをコミュニティに持ち込むことはあります.これら2つのグループ間の病気の伝染を考慮する必要があります.合理的な仮定は,地域社会での感染が続いてかつ病院で0.4の新しい感染を引き起こし,病院での感染が続きかつ地域で0.2の新しい感染を引き起こす可能性があることです.これで,病院およびコミュニティに関して,それぞれの内部での感染と両者間での感染の4種類があるのがわかりました.

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■病院に1000人の感染者がいて,地域社会に1000人の感染者がいる場合,新しい感染例はどれほど発生しますか?

有用な発見と警告
数学的詳細に入る前に,例を見て,表から直接読み取れる情報を確認しましょう.左側の列の数値を合計すると1.2になります.これは,コミュニティの感染者が平均して感染させる人の総数です.そして,右側の列の数値を合計すると0.9になります.これは,病院で感染した人が平均して感染させる人の総数です.このようなテーブルの列の数値を単純に合計すると,状況によって,起こっていることの有用なヒントが得られます.

列の合計が両方とも1未満になる場合:列内の数を合計すると,両方の列で1未満になる場合,つまり,平均して1人未満の人が感染させられ,全体のR値は常に1未満になることを示しており,この病気が制御されていることになります.

列の合計が両方とも1を超える場合,各列の合計が1を超える場合,すべての列について,つまり,すべての感染が平均して複数の人に感染することになります.全体のR値が常に1より大きいことを数学的に示すことができ,病気の新しい症例が指数関数的に増加することになります.

列の1つが1を超え、列の1つが1未満の場合は注意,難しい状況です.
この状況では,全体的なRを数学を用いて計算しなければ,疾患が制御下にあるのか制御不能なのかを判断できません.(この例がこの場合に当たる)

世代を超えて
もう少し数学的な説明をします.コミュニティの元の感染者数には I_c(0)=1000という表記を使用し,病院の元の感染者数には I_h(0)= 1000を使用します. 1つのグループの第1世代の新しい感染を計算するには,そのグループ内で生成された新しい感染の数(つまり,元のコミュニティ感染によって引き起こされた新しいコミュニティ内感染の R_ {cc} I_ c(0)= 800)と,他のグループから作られた新しい感染の数(つまり,病院での元の感染によって引き起こされた新しいコミュニティ感染の場合は R_ {hc} I_ h(0)= 200 ).次に,コミュニティの第1世代の新しい感染, I_ c(1),および病院の I_ h(1)の計算は次のとおりです.

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感染の第2世代は,第1世代から計算されます.

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この方法で感染のすべての将来の世代を段階的に計算できます.
中間のステップをスキップし,元の感染数で n番目の世代の感染を記述できます.ここでは第2世代の感染の記述をします.

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これは第2世代に過ぎませんが,すでにかなり扱いにくいものです.幸いにも,初年度の大学で線形代数を少し知っている場合は,これらのすべての計算を行列とベクトルを使用してはるかに簡単に記述できます.

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この表記により, n番目の世代の新しい感染の計算をより簡単に記述できます.

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ここで、I(n)は、コミュニティ内および病院内のn番目の世代の感染における新しい感染の数を含むベクトルであり,Mは,グループ内およびグループ間の伝達速度で構成される次世代の行列です.

全体のRは何ですか?
線形代数を使用すると,伝染病の成長をより明確かつエレガントに表現できます.また,この領域の数学の結果を用い,何が起こるかを調べることができます.

たとえば、次世代マトリックスMの固有値と呼ばれるものを見つけることができます.これらは2つの数値λ_1,λ_2であり,固有ベクトルv_1,v_2が対応します.
M v_i=λ_i・v_i
M^k v_i=(λ_i)^k・v_i

もう1つの有用な線形代数の結果は,ほぼすべての行列で,固有ベクトルが線形独立なことです.実際,これらの2つの固有ベクトルの線形結合として任意のベクトルを書くことができます.(この事実を真実にするには,固有値と固有ベクトルに複素数を許可する必要がありますが,これについては気にしない理由があります)
コミュニティと病院の元の感染数で構成される感染ベクトル I(0)を次のように記述できます.

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線形代数からの別の結果によると,次世代行列はすべて正の実数であるため(負の数に感染させることはできません),最大の固有値も正の実数で,私たちは指数関数的成長を知っているので,世代数が増えるにつれて,I(n)の式がその支配的な固有値を含む項によってどのようになるかがわかります.

例とした次世代行列

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の固有値は1.04と0.46です.
したがって,この区分された母集団の全体のRは,R = 1.04です.そして,何世代にもわたる感染症の後,新しい感染症の約45%が地域社会で発生し,新しい感染症の55%が病院で発生します. 

Rについて知っていること
この例では,人口を2つのグループに分けています.病院(介護施設を含む)とコミュニティです.しかし,介護施設,病院,地域社会など,より多くのグループを区別したい場合はどうでしょうか.または,いくつかの地理的相違で区分が必要かもしれません.数学は,任意の数のグループに分割された母集団に拡張できます.次世代マトリックス(モデルでは2x2)の次元はグループの数まで増加し,グループのいずれか2つの間の感染の伝達,各グループ内で生成された感染の個々のR値を含みます.そして,全母集団の全体のRは次世代行列の主要な固有値です.

前の記事で直感的に調査したように,区分された母集団の全体のR値は,次世代行列の個々の数値の値よりも常に大きくなります.これは,任意の数のグループに分割された母集団について数学的に証明できます.支配的な固有値である全体のRの計算は,線形代数を使用すると簡単ですが,頭の中で行うのは簡単ではありません.上の図の例で示したように,グループ間およびグループ内の伝達率の値がすべて1未満であっても,全体のRが1より大きい場合があることを覚えておくことが重要です.このときは計算する必要があります.

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