伝染病の実効再生産数Rは,母集団の異なる部分で異なる値を持つ可能性がありました.Rは感染した人が他に感染させる平均人数で,社会のさまざまな部分集団(たとえば,地理的要因や病院や介護施設など)ごとにR値が異なる場合は,これらの部分集団がどのように結びついているかを考慮する必要があります.

集団を2つの部分集団に分割してみましょう.一つは,介護施設や病院の患者またはスタッフであり,「病院」というラベルをつけます.残りは,「コミュニティ」と呼ぶ部分集団です.コミュニティのRは0.8,病院のRは0.7としましょう.

これら2つのグループを個別独立なものとして検討することはできません.コミュニティの人々が病気になったときは病院に移動し,病院や介護施設のスタッフが無意識のうちにウイルスをコミュニティに持ち込むことはあります.これら2つのグループ間の病気の伝染を考慮する必要があります.合理的な仮定は,地域社会での感染が続いてかつ病院で0.4の新しい感染を引き起こし,病院での感染が続きかつ地域で0.2の新しい感染を引き起こす可能性があることです.これで,病院およびコミュニティに関して,それぞれの内部での感染と両者間での感染の4種類があるのがわかりました.

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■病院に1000人の感染者がいて,地域社会に1000人の感染者がいる場合,新しい感染例はどれほど発生しますか?

有用な発見と警告
数学的詳細に入る前に,例を見て,表から直接読み取れる情報を確認しましょう.左側の列の数値を合計すると1.2になります.これは,コミュニティの感染者が平均して感染させる人の総数です.そして,右側の列の数値を合計すると0.9になります.これは,病院で感染した人が平均して感染させる人の総数です.このようなテーブルの列の数値を単純に合計すると,状況によって,起こっていることの有用なヒントが得られます.

列の合計が両方とも1未満になる場合:列内の数を合計すると,両方の列で1未満になる場合,つまり,平均して1人未満の人が感染させられ,全体のR値は常に1未満になることを示しており,この病気が制御されていることになります.

列の合計が両方とも1を超える場合,各列の合計が1を超える場合,すべての列について,つまり,すべての感染が平均して複数の人に感染することになります.全体のR値が常に1より大きいことを数学的に示すことができ,病気の新しい症例が指数関数的に増加することになります.

列の1つが1を超え、列の1つが1未満の場合は注意,難しい状況です.
この状況では,全体的なRを数学を用いて計算しなければ,疾患が制御下にあるのか制御不能なのかを判断できません.(この例がこの場合に当たる)

世代を超えて
もう少し数学的な説明をします.コミュニティの元の感染者数には I_c(0)=1000という表記を使用し,病院の元の感染者数には I_h(0)= 1000を使用します. 1つのグループの第1世代の新しい感染を計算するには,そのグループ内で生成された新しい感染の数(つまり,元のコミュニティ感染によって引き起こされた新しいコミュニティ内感染の R_ {cc} I_ c(0)= 800)と,他のグループから作られた新しい感染の数(つまり,病院での元の感染によって引き起こされた新しいコミュニティ感染の場合は R_ {hc} I_ h(0)= 200 ).次に,コミュニティの第1世代の新しい感染, I_ c(1),および病院の I_ h(1)の計算は次のとおりです.

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感染の第2世代は,第1世代から計算されます.

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この方法で感染のすべての将来の世代を段階的に計算できます.
中間のステップをスキップし,元の感染数で n番目の世代の感染を記述できます.ここでは第2世代の感染の記述をします.

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これは第2世代に過ぎませんが,すでにかなり扱いにくいものです.幸いにも,初年度の大学で線形代数を少し知っている場合は,これらのすべての計算を行列とベクトルを使用してはるかに簡単に記述できます.

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この表記により, n番目の世代の新しい感染の計算をより簡単に記述できます.

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ここで、I(n)は、コミュニティ内および病院内のn番目の世代の感染における新しい感染の数を含むベクトルであり,Mは,グループ内およびグループ間の伝達速度で構成される次世代の行列です.

全体のRは何ですか?
線形代数を使用すると,伝染病の成長をより明確かつエレガントに表現できます.また,この領域の数学の結果を用い,何が起こるかを調べることができます.

たとえば、次世代マトリックスMの固有値と呼ばれるものを見つけることができます.これらは2つの数値λ_1,λ_2であり,固有ベクトルv_1,v_2が対応します.
M v_i=λ_i・v_i
M^k v_i=(λ_i)^k・v_i

もう1つの有用な線形代数の結果は,ほぼすべての行列で,固有ベクトルが線形独立なことです.実際,これらの2つの固有ベクトルの線形結合として任意のベクトルを書くことができます.(この事実を真実にするには,固有値と固有ベクトルに複素数を許可する必要がありますが,これについては気にしない理由があります)
コミュニティと病院の元の感染数で構成される感染ベクトル I(0)を次のように記述できます.

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線形代数からの別の結果によると,次世代行列はすべて正の実数であるため(負の数に感染させることはできません),最大の固有値も正の実数で,私たちは指数関数的成長を知っているので,世代数が増えるにつれて,I(n)の式がその支配的な固有値を含む項によってどのようになるかがわかります.

例とした次世代行列

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の固有値は1.04と0.46です.
したがって,この区分された母集団の全体のRは,R = 1.04です.そして,何世代にもわたる感染症の後,新しい感染症の約45%が地域社会で発生し,新しい感染症の55%が病院で発生します. 

Rについて知っていること
この例では,人口を2つのグループに分けています.病院(介護施設を含む)とコミュニティです.しかし,介護施設,病院,地域社会など,より多くのグループを区別したい場合はどうでしょうか.または,いくつかの地理的相違で区分が必要かもしれません.数学は,任意の数のグループに分割された母集団に拡張できます.次世代マトリックス(モデルでは2x2)の次元はグループの数まで増加し,グループのいずれか2つの間の感染の伝達,各グループ内で生成された感染の個々のR値を含みます.そして,全母集団の全体のRは次世代行列の主要な固有値です.

前の記事で直感的に調査したように,区分された母集団の全体のR値は,次世代行列の個々の数値の値よりも常に大きくなります.これは,任意の数のグループに分割された母集団について数学的に証明できます.支配的な固有値である全体のRの計算は,線形代数を使用すると簡単ですが,頭の中で行うのは簡単ではありません.上の図の例で示したように,グループ間およびグループ内の伝達率の値がすべて1未満であっても,全体のRが1より大きい場合があることを覚えておくことが重要です.このときは計算する必要があります.